自然指数函数e^x与欧拉数e (上)

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自然指数函数e^x与欧拉数e (上)

2024-06-30 17:31| 来源: 网络整理| 查看: 265

自然指数函数e^x与欧拉数e

Part I: 什么是指数

根据维基百科中的定义：指数是一种运算(operation)，他包含两个数，一个是底数/底/基数(base)，另一个叫指数(exponent)/幂(power)。指数运算可以表示为如下方式：

$\mathbf{b^{n}}$

其中，b表示base，n表示exponent。在英文中念作“b to the power of n”，用中文中我们可以说“b的n次方”或“b的n次幂(这个有点官方了)”。指数运算所表示的意思是n个b相乘（当n为正整数时）。这样看来，指数运算并不是什么新东西，他只不过是多个同一个数相乘的一种简化表示。

例如：我们要表示10个2相乘，我们可以写成连乘的形式。但有了指数以后，我们就能用更加简洁的形式表示：

$2\times2 \times 2\times2 \times 2\times2\times2 \times 2\times2 \times 2\Rightarrow 2^{10}$

如果n为负呢？

若n为负，也就是负指数。表示连续除一个同一个数n次！换句话说，负指数就是正指数的倒数。

$\mathbf{b^{-n}=\frac{1}{b^{n}}}$

例如：

$8^{-1}=1/8$

再比如：

$8^{-3}=1/8/8/8$ 或 $8^{-3}=1/(8*8*8)$

n为有理数呢？

令n为有理数p/q，则有：

$\mathbf{b^{n}=\mathbf{b^{p/q}}=\sqrt[q]{b^{p}}=(\sqrt[q]{b})^{p}}$

例如b的0.5次方：

$b^{0.5}=b^{1/2}=\sqrt[2]{b^{1}}=\sqrt[2]{b}$

Part II: 指数，根和对数

下面我想用一例子来说明指数，根和对数的区别，其中每一个例子都会用一个"?"来替代我们所要说明的数。这样会更有助于我去理解指数。

$\mathbf{b^{n}=a}$

一：指数，exponent(乘积是多少？)

$b^{n}=?$

这是关于指数的问题/几次方的问题，即b的n次方是多少？或n个b相乘等于多少？例如，3的平方是多少。

二：根，root(用哪个数乘?)

$?^{n}=a$

这是求根的问题，即a的n次根是多少？或者说n个什么相乘等于a? 例如，2的平方根是多少？或4个什么相乘等于10000？

三：对数，logarithm(乘多少次?)

$b^{?}=a$

这是关于对数的问题，即a以b为底的对数是多少？或者说b的几次方是a(个人更加倾向于这种说法)？例如，3的几次方等于9。

Part III: 指数函数

指数函数指的是下面这种函数：

$f(x)=b^{x},\; where \; b\neq 0$

定义域(Domain)：全部实数，值域(Range)：( $0\sim +\infty$ )

他和前面讲的指数一样，表示多个b相乘的结果，至于乘多少次则是由x来决定。(注：在很多地方会默认指数函数就是特指以自然数e为底的幂函数，但我这里指的是一般的，广义的指数函数。在这篇文章中，我把以自然数e为底的指数函数称为自然指数函数)

当0分母越大--->倒数越小。函数的图像大致如下图所示(下图用a表示b)。

以2为底的指数函数要比2次幂函数增长的快的多的多：

指数函数的性质：

1，指数函数的值永远大于0，且与x轴无交点。

2，函数必过(0,1)点，即函数与y轴的交点在y=1处。

3，当x=1时，f(1)=b。说明函数过(1,b)点。

4，指数函数是一个一对一函数。

Part IV: 函数的导数

在引入自然指数函数之前，需要先引入微积分中导数的概念。本学渣在这里也顺便复习一下。

割线的斜率与平均变化率(Average rates of change and the slope of secant lines):

对于一个任意函数f(x)而言，计算某一段x=[x1~x2]之间的函数值的平均变化率，相当于几何学中割线PQ的斜率。其中，函数值y的变化和x的变化，被分别定义为：

$\Delta y=f(x_{2})-f(x_{1}),\; \Delta x=x_{2}-x_{1}$

这样一来，就能把函数f(x)在[x1,x2]之间的平均变化率写成：

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$

如果把Δx用h来代替，则x2=x1+h：

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=\frac{f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h},\; h\neq 0$

同时，我们把他记作割线的斜率 $S_{secant}$ ：

$S_{secant}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h},\; h\neq 0$ （式1）

切线的斜率与瞬时变化率(Instantaneous rates of change and the slope of tangent lines):

函数f(x)在一个较长的区间上的平均变化率反映了割线PQ的斜率，随着割线PQ的长度越来越小，Q点会越来越接近于P点，直到两点之间的距离无限趋近于0，这时我们就得到了P点的切线。切线的斜率就是函数在P点的瞬时变化率。

随着Q点向P点的移动，h越来越小。当h小到快接近0时(但不等于0)，Q点几乎与P点重合。这时我们得到了过P点的一条切线，切线的斜率就是函数f(x)在P点的瞬时变化率，并用h趋近于0时函数f(x)的极限来表示：

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h}$

如果我们用 $S_{tangent}$ 来表示切线的斜率，有：

$S_{tangent}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h}$ （式2）

与(式1)相比，(式2)中的极限符号"h--->0"实际上就是上图中点Q不断地向P靠近的过程，靠的越近h越小。

Tips: 点Q可以从右往左靠近P(如上图中的做法)，也可以从左往右靠近P。

如果Q点从左往右靠近得到的切线的斜率和从右往左靠近所得到的斜率的变化趋势相同，极限相同，则，我们说函数f(x)在点P(x1,f(x1))处的切线的斜率的极限存在(这句话有点绕 --!)。若，极限存在，那么这个极限就被称为函数f(x)在x=x1处的导数，用数学符号来表示就是：

$f(x_{1})'=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h}=S_{tangent}$

更一般的表示，即函数在任意点的导数(如果极限存在的话)可表示为：

$f(x)'=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ （式3）

f(x)'念作：f(x)撇。

函数f(x)的导数除了“ f(x)' ”这种表示方式之外，还有以下的一些表示方式：

1, y' ，念作：y撇当表示x=a处的导数时，记作 $y'\mid _{x=a}$ 。

2, $\frac{dy}{dx}$ ，念作：dydx 当表示x=a处的导数时，记作 $\frac{dy}{dx}\mid _{x=a}$

3, $\frac{df}{dx}$ ，念作：dfdx 当表示x=a处的导数时，记作 $\frac{df}{dx}\mid _{x=a}$

对于高阶导数而言：

1, y'' ，念作：y两撇表示二阶导数

2, y''' ，念作：y三撇表示三阶导数

3, $y^{(n)}$ ，念作：y的n阶导数表示n阶导数

4, $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ，念作：d平方y，dx的平方表示二阶导数

5, $\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$ ，念作：dn次方y，dx的n次方表示n阶导数

计算一个函数的导数的过程被称为微分。

小结：

在前面简短的回顾中提到了很多术语，但实际上这些术语(Keyword: 切线的斜率，瞬时变化率，导数，当h趋近于0时函数f(x)的极限)描述的都是同一件事。

Part V: 指数函数的导数

现在我们就能用前面的计算方法来求指数函数的导数。

首先，基于f(x)我们可以写出f(x+h)：

$f(x)=b^{x}\Rightarrow f(x+h)=b^{x+h}$

代入求解导公式(式3)有：

$f(x)'=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{b^{x+h}-b^{x}}{h}$

$=\lim_{h \to 0}\frac{b^{x}(b^{h}-1)}{h}=b^{x}\lim_{h \to 0}\frac{b^{h}-1}{h}$ （式4）

又因为指数函数在x=0处的导数为：

$f(0)'=\lim_{h \to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{b^{h}-b^{0}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{b^{h}-1}{h}$ （式5）

用(式5)整体替换(式4)后有：

$f(x)'=b^{x}\lim_{h \to 0}\frac{b^{h}-1}{h}=f(0)'\cdot b^{x}$ （式6）

Part VI: 一些指数函数的导数

知道了指数函数导数的计算方法后，我们先看看下面两个指数函数的导数，并通过这两个指数函数的导数引出自然指数函数。下面的两个指数函数是我有意选择的，即当b=2和3时，分别得到：

$f(x)=2^{x},\; g(x)=3^{x}$

他们的函数图像如下所示：

根据(式6)分别求出这两个函数的导数：

$f(x)'=f(0)'\cdot 2^{x},where\; f(0)'=\lim_{h \to 0}\frac{2^{h}-1}{h}$

$g(x)'=g(0)'\cdot 3^{x},where\; g(0)'=\lim_{h \to 0}\frac{3^{h}-1}{h}$

有时候，当h趋近于0时，f(0)的极限不好计算，因为会涉及到除0的情况。但可以通过数值逼近的方法得到这一极限，直到精确到某一精度。具体做法如下表所示，人为的令h等于一个越来越小的数，并观察计算结果。

可见随着h越来越小，f(0)'的极限越来越趋近于一个稳定的值，这说明函数在x=0处的极限是存在的，因此我们可以求出这两个函数的导数：

$f(x)'=f(0)'\cdot 2^{x}\approx 0.6932\cdot 2^{x}$

$g(x)'=g(0)'\cdot 3^{x}\approx1.0987\cdot 3^{x}$

事实上，这种数值逼近的算法/方法，更加符合极限定义的本身。也就是，当把h缩小到某一很小的变化范围内时，函数值f(x)无限的趋近于某一定值L。令h=x-x0，且δ>0，得到函数在x=x0点处的极限的正式定义：

$\lim_{x \to x0}f(x)=L,when \; 0\left | x-x_{0} \right |\delta \Rightarrow \left | f(x)-L \right |\epsilon$

下面的这些图示很好的说明了上面表格中关于f(0)'的计算过程：

现在，求出函数f(x)和g(x)在x=0处的导数，也就是x=0处切线的斜率：

$f(0)'\approx 0.6932\cdot 2^{0}\approx 0.6932$

$g(0)'\approx1.0987\cdot 3^{0}\approx1.0987$

下图为函数f(x)的图像(黄色虚线)以及该函数的导数的图像(黄色实线)：(注意: 绘图软件中导数函数在x=0处的值与我们算出来的相同)

下图为函数g(x)的图像(红色虚线)以及该函数的导数的图像(红色实线)：(注意:绘图软件中导数函数在x=0处的值与我们算出来的相同)

Part VII: Two observation!

现在再多加上一些相邻指数函数的导数的图像和他们在x=0处的导数，我们就能发现一些规律：

当b=1.5时，指数函数的导数值为0.40551.099(b=3)。这说明在b=2和b=3之间，函数的导数值一定会在某处正好等于1，且相应的b也一定在2和3之间。更准确的说，应该是在b=2.5到b=3之间：

$2.5b3\Rightarrow$

$(\frac{\mathrm{d} (2.5^{x})}{\mathrm{d} x}\mid_{x=0} \approx 0.9163)(\frac{\mathrm{d} (b^{x})}{\mathrm{d} x}\mid_{x=0} =1)(\frac{\mathrm{d} (3^{x})}{\mathrm{d} x}\mid_{x=0} \approx 1.0986)$